Applications linéaires (3/4)

Exercice 1.
Soit {f} un endomorphisme de {E}. Montrer que {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} f} si et seulement si la restriction de {f} à {\text{Im} f} est un automorphisme de {\text{Im} f}.
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Exercice 2.
Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels, et {g} une application linéaire de {F} dans {G}.
On définit {\varphi} de {{\mathcal L}(E,F)} vers {{\mathcal L}(E,G)} en posant {\varphi(f)=g\circ f}.
Montrer que {\varphi} est une application linéaire.
On suppose que {g} est injective. Que dire de {\varphi} ?
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Exercice 3.
Soit {E} un {\mathbb{C}-}espace vectoriel, et soit {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f^3=\text{Id}}.
Montrer que {E=E_1\oplus E_j\oplus E_{j^2}}, avec la notation {E_\lambda=\text{Ker}(f-\lambda\text{Id})}.
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Exercice 4.
Soit {f} un endomorphisme de {E}, et {P,Q} deux polynômes premiers entre eux.
Montrer que {\text{Ker} (PQ)(f)=\text{Ker}\,P(f)\oplus\text{Ker}\,Q(f)}.
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Exercice 5.
Soit {E=C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} .
Soient {P,D} définis sur {E} par : {P(f) :x\mapsto \displaystyle\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt\;\text{et}\;D(f)=f'}

  1. Vérifier que {P,D} sont dans {\mathcal{L}(E)}.
    Déterminer {P\circ D} et {D\circ P }.
  2. Déterminer les noyaux de {\mathrm{Id}-P} et {\mathrm{Id}-D}.
  3. Soit {g} dans {E}.
    Déterminer les antécédents de {g} par {\mathrm{Id}-D}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.