Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f} un endomorphisme de {E}. Montrer que {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} f} si et seulement si la restriction de {f} à {\text{Im} f} est un automorphisme de {\text{Im} f}. |
| Exercice 2. Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels, et {g} une application linéaire de {F} dans {G}. On définit {\varphi} de {{\mathcal L}(E,F)} vers {{\mathcal L}(E,G)} en posant {\varphi(f)=g\circ f}. Montrer que {\varphi} est une application linéaire. On suppose que {g} est injective. Que dire de {\varphi} ? |
| Exercice 3. Soit {E} un {\mathbb{C}-}espace vectoriel, et soit {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f^3=\text{Id}}. Montrer que {E=E_1\oplus E_j\oplus E_{j^2}}, avec la notation {E_\lambda=\text{Ker}(f-\lambda\text{Id})}. |
| Exercice 4. Soit {f} un endomorphisme de {E}, et {P,Q} deux polynômes premiers entre eux. Montrer que {\text{Ker} (PQ)(f)=\text{Ker}\,P(f)\oplus\text{Ker}\,Q(f)}. |
| Exercice 5. Soit {E=C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} . Soient {P,D} définis sur {E} par : {P(f) :x\mapsto \displaystyle\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt\;\text{et}\;D(f)=f'}
|