Applications linéaires en dim finie (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {f} et {g} dans {{\mathcal L}(E)}, tels que {f\circ g=0} et {f+g\in\text{GL}(E)}.
Montrer que {\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\dim E}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim E=n\lt \infty}. Montrer que l’égalité {\text{Im}\,f=\text{Ker}\,f} équivaut à{\Bigl(f^2=0,\;n\text{\ est pair et rang}(f)=\frac n2\Bigr)}Montrer qu’alors il existe une base de {E} de la forme : {u_1,u_2,\ldots,u_p,f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_p)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{R}}.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f^3=\text{Id}}.

  1. Montrer que {\begin{cases}\text{Im}(f-\text{Id})\subset\text{Ker}(f^2+f+\text{Id})\\ E=\text{Im}(f-\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\text{Id})\end{cases}}
  2. Soit {x} un vecteur non nul de {\text{Im}(f-\text{Id})}.
    Montrer que {f(x)\in\text{Im}(f-\text{Id})} et que {x} et {f(x)} sont libres.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Dans {E=\mathbb{R}_3[X]}, on pose {A=X^4-1} et {B=X^4-X}.
Pour tout P\in E, on note \varphi(P) le reste {R} dans division de {AP} par {B}.
Montrer que {\varphi} est un endomorphisme de {E}. Noyau? Image ?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).