Exercices corrigés
Exercice 1. Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie. Soit {f} et {g} dans {{\mathcal L}(E)}, tels que {f\circ g=0} et {f+g\in\text{GL}(E)}. Montrer que {\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\dim E}. |
Exercice 2. Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim E=n\lt \infty}. Montrer que l’égalité {\text{Im}\,f=\text{Ker}\,f} équivaut à{\Bigl(f^2=0,\;n\text{\ est pair et rang}(f)=\frac n2\Bigr)}Montrer qu’alors il existe une base de {E} de la forme : {u_1,u_2,\ldots,u_p,f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_p)} |
Exercice 3. Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{R}}. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f^3=\text{Id}}.
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Exercice 4. Dans {E=\mathbb{R}_3[X]}, on pose {A=X^4-1} et {B=X^4-X}. Pour tout P\in E, on note \varphi(P) le reste {R} dans division de {AP} par {B}. Montrer que {\varphi} est un endomorphisme de {E}. Noyau? Image ? |