Applications linéaires en dimension finie

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{f}

{g}

dans

{{\mathcal L}(E)}

, tels que

{f\circ g=0}

{f+g\in\text{GL}(E)}

.
Montrer que

{\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\dim E}

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Exercice 2.
Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim E=n\lt \infty}

. Montrer que l’égalité

{\text{Im}\,f=\text{Ker}\,f}

équivaut à

{\Bigl(f^2=0,\;n\text{\ est pair et rang}(f)=\frac n2\Bigr)}

Montrer qu’alors il existe une base de

{E}

de la forme :

{u_1,u_2,\ldots,u_p,f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_p)}

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Exercice 3.
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie sur

{\mathbb{R}}

.
Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{f^3=\text{Id}}

Montrer que ${\begin{cases}\text{Im}(f-\text{Id})\subset\text{Ker}(f^2+f+\text{Id})\\ E=\text{Im}(f-\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\text{Id})\end{cases}}$
Soit ${x}$ un vecteur non nul de ${\text{Im}(f-\text{Id})}$ .
Montrer que ${f(x)\in\text{Im}(f-\text{Id})}$ et que ${x}$ et ${f(x)}$ sont libres.

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Exercice 4.
Dans

{E=\mathbb{R}_3[X]}

, on pose

{A=X^4-1}

{B=X^4-X}

.
Pour tout

P\in E

, on note

\varphi(P)

le reste

{R}

dans division de

{AP}

par

{B}

.
Montrer que

{\varphi}

est un endomorphisme de

{E}

. Noyau? Image ?

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