Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E}. Montrer que si {f} et {g} commutent, alors {\text{Ker} f} et {\text{Im} f} sont stables par {g}. Prouver que si {f} est un projecteur alors la réciproque est vraie. |
| Exercice 2. Soit {p} et {q} deux projecteurs de {E}. Montrer que {p+q} est un projecteur si et seulement si {p\circ q=q\circ p=0}. |
| Exercice 3. Soit {p} et {q} deux projecteurs de {E}. Montrer que {\text{Ker}\,p=\text{Ker}\,q} si et seulement si {p=p\circ q} et {q=q\circ p}. |
| Exercice 4. Soit {p} un projecteur non nul de {E}. Montrer que {f_\lambda=\text{Id}+\lambda p} est injective si et seulement si {\lambda\ne-1}. |
| Exercice 5. Soit {E} un {\mathbb{C}-}espace vectoriel, et {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f\circ f=-\text{Id}}. Soit {V=\{x\in E, f(x)=ix\}} et {W=\{x\in E, f(x)=-ix\}}. Montrer que {V} et {W} sont deux sous-espaces supplémentaires dans {E}. |