Sommes de projecteurs

(Oral X-Cachan)
Soit {A_1,\ldots ,A_k} dans {\mathcal M_n(\mathbb{R})} et {A=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}A_j}.
On considère les propriétés suivantes :

{a)\;\forall (i,j),\;\begin{cases}{A_i}^2=A_i\\i\neq j\Rightarrow A_iAj=0\end{cases}}
{b)\;A^2=A} et {\text{rg}(A)=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\text{rg}(A_j)}
{c)\;\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\text{rg} (A_j)n-\text{rg}(I_n-A)}.

  1. Montrer que : {a)\Rightarrow b)\Rightarrow c)}.
  2. On définit les matrices par blocs suivantes :

    {\!\!D=\begin{pmatrix} A_1&0&\cdots&0\\ 0&A_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&A_k\end{pmatrix}}, {P=\begin{pmatrix}A_1 \\\vdots \\A_k\end{pmatrix}}, {Q=\begin{pmatrix}A_1 & \cdots & A_k\end{pmatrix} },

    {\!\!R=\!\begin{pmatrix}-I_n & 0 & 0 \\0 & D & 0 \\0 & 0 & I_n\!-\!A\end{pmatrix}}, {S=\!\begin{pmatrix}-I_n & 0 & I_n \\0 & D & P \\I_n & Q & 0\end{pmatrix}}, {T=\!\begin{pmatrix}0 & 0 & I_n \\0 &\!\! D\!-\!PQ \!\!& P \\I_n & 0 & 0\end{pmatrix}}

    Prouver que {\text{rg}(R)=\text{rg}(S)=\text{rg}(T)}.

  3. En déduire l’implication {c)\Rightarrow a)} et conclure.

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