Système différentiel périodique
Construire la matrice de transition d’un système périodique de trace nulle.
Équadiff
Énergie et solutions d’EQD bornées
zéros de solutions d’EQD
Comparer les zéros de solutions de {y''+qy=0}.
Équation différentielle d’ordre 2
Contrôle (équations différentielles)
Un contrôle sur les équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2. On demande l’expression de la solution générale et l’intervalle de résolution.
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Intégrale et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Probabilités et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Encore un système différentiel
Équation différentielle et prolongement
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Suite de solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Autour du lemme de Gronwall
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Parité des solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}.
On suppose {a,b} continues sur {\mathbb{R}}. À quelle condition sur {a,b} existe-t-il une base de {\mathcal{S}(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?
Soit {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}.
On suppose {a,b} continues sur {\mathbb{R}}. À quelle condition sur {a,b} existe-t-il une base de {\mathcal{S}(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?
Une équation différentielle
Série génératrice et suite récurrente
(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
Une inéquation différentielle
(Oral X-Cachan )
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Série entière et équation différentielle
Rayon et somme f de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
DSE de arcsin2(x)
Développer {f(x)=\arcsin^{2}(x)} en série entière.
Équation différentielle y(3)-y = ept
Série entière, équation différentielle
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Un système différentiel
(Oral Ccp)
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Équation différentielle y″=(1+x4)y
(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
Une équation intégrale
(Oral X-Cachan)
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Équation différentielle de Legendre
(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Équation différentielle y"+f(x)y = 0
(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
Équa. différentielle et série entière
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Un système différentiel linéaire
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Endomorphisme intégral
(Oral Tpe et Ensam)
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 1
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Un système différentiel matriciel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Le gâteau
On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.
Mouvement circulaire (bis)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Mouvement circulaire
(Oral Ccp)
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Équation différentielle d’ordre 3
(Oral Ccp)
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Pas de sev stable de dim ≥ 1
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Un système différentiel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.