Contrôle (équations différentielles)
Un contrôle sur les équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2. On demande l’expression de la solution générale et l’intervalle de résolution.
Équations différentielles
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Intégrale et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Probabilités et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Encore un système différentiel
Équation différentielle et prolongement
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Suite de solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Autour du lemme de Gronwall
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Parité des solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}.
On suppose {a,b} continues sur {\mathbb{R}}. À quelle condition sur {a,b} existe-t-il une base de {\mathcal{S}(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?
Soit {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}.
On suppose {a,b} continues sur {\mathbb{R}}. À quelle condition sur {a,b} existe-t-il une base de {\mathcal{S}(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?
Une équation différentielle
Série génératrice et suite récurrente
(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.