Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose, pour {n \in \mathbb{N}^*} : {a_n=\dfrac{1 . 3 . 5 \cdots (2n-1)}{2.4.6\cdots(2n)}}.
On définit la fonction {f\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n} x^{2n}}.
| Question 1 Exprimer {a_{n+1}} en fonction de {a_n}. Montrer que : {\forall\, n \geq 1, \; a_{n} \leq \dfrac 1{\sqrt{2n+1}}}. |
| Question 2 Quel est le domaine de définition de {f} ? Sur quel domaine est-elle continue? |
| Question 3 On pose {S\colon x \in\,]-1,1[\, \mapsto 1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^{2n}}. Montrer que {S} vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre {1} et en déduire son expression. |
| Question 4 Exprimer une primitive de {x \mapsto \dfrac 1{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac 1x}. |
| Question 5 Montrer que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n}= 2 \ln(2)}. |
| Question 6 Calculer {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{a_n}{n}}. |