Exercice (oral Centrale/Supélec)
On considère l’équation différentielle : {\left(\mathcal{E}\right) :y'=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}}Pour tout {(x_0,y_0)} on admet que {\mathcal{E}} a une unique solution {y} sur {\mathbb{R}} et telle que {y(x_0)=y_0}.
| Question 1 Montrer que la solution de {\left(\mathcal{E}\right) } sur {\mathbb{R}} telle que {y(0)=0} est impaire. |
Dans toute la suite, on se donne une solution {y :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} de {\left(\mathcal{E}\right)}.
| Question 2.a Étudier le comportement de {y} en {+\infty } et en {-\infty}. |
| Question 2.b Déterminer un développement asymptotique de {y} à deux termes en {+\infty}. |
| Question 3 Soit {f\in\mathcal{C}([a,+\infty[,\mathbb{R})}, avec {f(x)\displaystyle\stackrel{+\infty}{=}o\biggl(\dfrac{1}{x^{n+2}}\biggr)}. Montrer que {\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!f(t)dt\stackrel{+\infty}{=}o\biggl(\dfrac{1}{x^{n+1}}\biggr)}. |
| Question 4 Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}^{*}} : {\begin{array}{l}\exists\,(\alpha_0,\ldots,\alpha_n),\; y(x)\stackrel{+\infty}{=}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha _{k}}{x^{k}}\!+\!o\left(\dfrac{1}{x^{n}}\right)\end{array}} |