Développement asymptotique et EQD

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On considère l’équation différentielle : {\left(\mathcal{E}\right) :y'=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}}Pour tout {(x_0,y_0)} on admet que {\mathcal{E}} a une unique solution {y} sur {\mathbb{R}} et telle que {y(x_0)=y_0}.

Question 1
Montrer que la solution de {\left(\mathcal{E}\right) } sur {\mathbb{R}} telle que {y(0)=0} est impaire.

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Dans toute la suite, on se donne une solution {y :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} de {\left(\mathcal{E}\right)}.

Question 2.a
Étudier le comportement de {y} en {+\infty } et en {-\infty}.
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Question 2.b
Déterminer un développement asymptotique de {y} à deux termes en {+\infty}.
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Question 3
Soit {f\in\mathcal{C}([a,+\infty[,\mathbb{R})}, avec {f(x)\displaystyle\stackrel{+\infty}{=}o\biggl(\dfrac{1}{x^{n+2}}\biggr)}.

Montrer que {\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!f(t)dt\stackrel{+\infty}{=}o\biggl(\dfrac{1}{x^{n+1}}\biggr)}.

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Question 4
Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}^{*}} : {\begin{array}{l}\exists\,(\alpha_0,\ldots,\alpha_n),\; y(x)\stackrel{+\infty}{=}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{\alpha _{k}}{x^{k}}\!+\!o\left(\dfrac{1}{x^{n}}\right)\end{array}}
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