Une somme (bis) de série entière

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit la série entière {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}, où {a_{n}=\dfrac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}}.

Question 1
Déterminer le rayon de convergence {R} de {S(x)}.
Y a-t-il convergence pour {x=-R}? pour {x=R}?
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Question 2
Montrer que, pour tout {x} de {]-R,R\,[}, on a : {2x(1-x)S'(x)-(2x+1)S(x)=-1}On utilisera : {(2n-1)a_{n}-2n\,a_{n-1}=0}.
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Question 3
En déduire une expression de {S(x)} sur {[0,R[} à l’aide de fonctions élémentaires.
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Question 4
Cas particulier : calculer la somme de la série de terme général {\dfrac{1}{\binom{2n}{n}}}.
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