Équation fonctionnelle et série entière

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Question 1
Montrer qu’il existe une unique fonction {y \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que : {\forall\, x \in \mathbb{R}, \; y^{3}(x)+y(x)+x=0}
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Question 2
Dans {\mathbb{R}[Y]} appliquer l’algorithme d’Euclide à :{A(Y)=Y^{3}+Y+x\;\text{et}\;B(Y)=3Y^{2}+1}En déduire que, pour tout {x\in\mathbb{R}} : {(27x^{2}+4)y'(x)=-6y^{2}(x)+9xy(x)-4}
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Question 3
Montrer ensuite que, pour tout réel {x} : {(27x^{2}\!+\!4)^{2}y''=6\big(18x \!+\! (2 \!-\! 27 x^2) y \!+\! 27 x y^2\big)}
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Question 4
En déduire que, pour tout réel {x} : {(E) :(4+27 x^2)y''+27x y'-3y=0}
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Question 5
Montrer que {y} est développable en série entière.
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