Contrôle (équations différentielles)

Voici 8 équations différentielles linéaires (4 du premier ordre, 4 du second ordre). On demande de préciser l’expression de la solution générale ${y(x)}$ , en fonction de une ou deux constantes arbitraires ${\lambda}$ ou ${\mu}$ , et de préciser l’intervalle ${I}$ de résolution.

Il faut bien chercher la solution avant de vérifier la réponse (aucune n’est immédiate).

{(E) :\;x\,y'(x)+4\,y (x)=6\,{x}^{2}}

Réponse

{I=\mathbb{R}^{+*}\;\text{ou}\;I=\mathbb{R}^{-*};\quad y(x)={x}^{2}+{\dfrac {\lambda}{{x}^{4}}}}

{(E) : y''(x)-3y'(x)-4y(x)=x}

Réponse

{I=\mathbb{R};\quad y (x)=\lambda\,{\text{e}^{-x}}+\mu\,{\text{e}^{4\,x}}+\dfrac{3}{16}-\dfrac{x}{4}}

{(E) :\;(x+1)\,y'(x)-2y(x)=2x}

Réponse

{I=]-\infty,-1[\;\text{ou}\;I=]-1,+\infty[}

${y (x)= -2x-1+\lambda\left( x+1 \right) ^{2}}$

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