Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
On considère {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}{a,b} sont continues de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.

Soit {\mathcal{S}(E)} l’ensemble des solutions sur {\mathbb{R}}.

  1. Soient {f,g} dans {\mathcal{S}(E)}.
    Que dire de la fonction {W=fg'-f'g} ?
  2. On suppose {a} impaire et {b} paire.

    Soient {f,g\in\mathcal{S}(E)} définies par {\begin{cases}f(0)=1\\f'(0)=0\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}g(0)=0\\g'(0)=1\end{cases}}

    Montrer que {f} est paire et que {g} est impaire.

    En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de {(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

  3. On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de {(E)} constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que {a} est impaire et {b} paire.

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