(Oral Mines-Ponts 2018)
On considère {(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0} où {a,b} sont continues de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {\mathcal{S}(E)} l’ensemble des solutions sur {\mathbb{R}}.
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Soient {f,g} dans {\mathcal{S}(E)}.
Que dire de la fonction {W=fg'-f'g} ?
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On suppose {a} impaire et {b} paire.
Soient {f,g\in\mathcal{S}(E)} définies par {\begin{cases}f(0)=1\\f'(0)=0\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}g(0)=0\\g'(0)=1\end{cases}}
Montrer que {f} est paire et que {g} est impaire.
En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de {(E)} formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
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On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de {(E)} constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que {a} est impaire et {b} paire.
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