M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique

(Oral Mines-Ponts)
Soit {M :\mathbb{R}\mapsto \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} une application dérivable.

  1. On pose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)=M(x)^{T}M(x)}
    Montrer que {f} est dérivable sur {\mathbb{R}} et préciser {f'}.
  2. Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
    On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
    On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
    Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.

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