Équations différentielles
Exercices corrigés sur le thème « équations différentielles » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp)

Mouvement circulaire

(Oral Ccp)
Soit

{(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}

{\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}

Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement

{(S)}

(Oral Ccp)
Soit

{(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}

.
On pose

{X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}

.
1. Montrer que

{(E)}

s’écrit

{X'=AX}

.
2. Trigonaliser

{A}

, puis résoudre

{(E)}

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel

{(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}

On note

{X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

de colonnes

{X_{k}(t)}

.
1. Montrer que

{X(t)}

est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par

{\det(X)}

.
3. Déterminer

{\det(X(t))}

en fonction de

{\text{tr}(A)}