Équations différentielles
Exercices corrigés sur le thème « équations différentielles » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp)

Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan )
Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

➡️

Série entière et équation différentielle

Rayon et somme

f

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

vérifie

{(1-x^2)y'-xy=1}

➡️

DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

➡️

Équation différentielle y⁽³⁾-y = e^pt

(Oral Centrale )
Résoudre :

{f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}}

➡️

Série entière, équation différentielle

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

➡️

Un système différentiel

(Oral Ccp)
Résoudre

{X'=AX}

où

{A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}

➡️

Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

➡️

Une équation intégrale

(Oral X-Cachan)
Résoudre dans

{\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

{\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}

➡️

Équation différentielle de Legendre

(Oral X-Cachan Psi)
On note

{U_{n}=(X^{2}-1)^{n}}

{P_{n}=U_n^{(n)}}

.
1. Montrer que

{P_{n}}

vérifie

{(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}

.
2. Donner les solutions

{\mathcal{C}^{2}}

{(E)}

sur

{[-1,1]}

.
3. Montrer que les

P_n

sont orthogonaux pour

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

➡️

Équation différentielle y"+f(x)y = 0

(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation

{(E): y'' + f(x)y = 0}

, où

{f}

est continue intégrable sur

{\mathbb{R}}

➡️

Équa. différentielle et série entière

(Oral Ensea)
Solutions développables en série entière de

{(E): 4xy'' - 2y' + 9x^{2}y = 0}

➡️

Équa. diff. et développement limité

(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle

{(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}

.
Montrer que

(E)

admet une unique solution

{f}

sur

{]-\infty,1[}

vérifiant

{f(0) = 0}

.
Donner un développement de

{f}

à l’ordre

{4}

{0}

➡️

Un système différentiel linéaire

(Oral Mines-Nancy)
Résoudre

{\begin{cases}x'=-3x+5y-5z\\y'=-4x+6y-5z\\z'=-4x+4y-3z\end{cases}}

➡️

Série entière et produit de Cauchy

(Oral Ccp)
On définit

{u_{0}=3}

{u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}

.
Écrire

{f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}

à l’aide de fonctions usuelles

➡️

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

(Oral Ensam)
Résoudre l’équation différentielle

{(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️

Un système différentiel matriciel

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

symétrique, et

{B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Soit l’équation

{(E)}

{A'(t) = A(t)B - BA(t)}

où

{A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

{A(0) = A_{0}}

.
On va montrer que la matrice

{A(t)}

reste semblable à

{A_0}

➡️

Mouvement circulaire (bis)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}}

une solution de

{(S):\;X'=AX}

, avec

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
1. Montrer que

{\left\|{X(t)}\right\|}

est constant
2. Si

{a\in\text{Ker}(A)}

, montrer que

{\left({X(t)}\mid{a}\right)}

est constant
3. En déduire que le mouvement de

{X(t)}

est circulaire

➡️

Mouvement circulaire

(Oral Ccp)
Soit

{(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}

{\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}

Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement

{(S)}

➡️