Équations différentielles
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Un système différentiel linéaire
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Endomorphisme intégral
(Oral Tpe et Ensam)
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 1
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Un système différentiel matriciel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Mouvement circulaire (bis)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Mouvement circulaire
(Oral Ccp)
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Équation différentielle d’ordre 3
(Oral Ccp)
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Pas de sev stable de dim ≥ 1
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Un système différentiel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.