Série entière et produit de Cauchy

(Oral Ccp)
Soit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}.

  1. Montrer que {0\le u_{n}\le4^{n+1}n!} pour tout {n}.
  2. Montrer que {f’=f^{2}} sur un intervalle {I}.
    Exprimer {f} à l’aide de fonctions usuelles.

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