Un système différentiel matriciel

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {d\in\mathbb{N}^{*}}, {A_{0}\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.

Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)}{A(t)\in {\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.

On va montrer que les valeurs propres de {A(t)} solution de {(E)} sont constantes.

On admet l’existence de {U(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^{n}}{n!}B^{n}}.

Il est clair que {U(0)=I_{d}}.

On admet que {t\mapsto U(t)} est {\mathcal{C}^{1}} et que : {\forall\, (t,s)\in\mathbb{R}^{2},\;U(t)U(s)=U(t+s)}.

  1. Montrer que l’équation {(E)} possède une unique solution {t\mapsto A(t)}.
  2. Montrer que {A(t)} est toujours symétrique.
  3. Montrer que {U(t)} est toujours orthogonale.
  4. Montrer que : {A(t)\!=\!U(t)A_{0}{U}^{\top}{(t)}}.
    Conclure.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).