Équation différentielle y"+f(x)y = 0

(Oral Tpe & XEns)
Soit

{f}

, continue et intégrable sur

{\mathbb{R}}

.
Soit

{\mathcal{S}(E)}

l’ensemble des solutions de

{\mathbb{R}}

{(E): y'' + f(x)y = 0}

Montrer que si ${y_{1},y_{2}}$ sont dans ${\mathcal{S}(E)}$ alors ${z=y'_{1}y_{2} -y_{1}y'_{2}}$ est constante.
On suppose que ${(E)}$ admet une solution ${x\mapsto y(x)}$ bornée sur ${\mathbb{R}}$ .
Montrer alors ${\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y'(x)=0}$ .
Montrer que ${(E)}$ admet une solution non bornée.

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