Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Montrer que {g:x\mapsto \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack}.
  2. Soit {f(x)= \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}.

    Montrer que est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.

    Montrer {f(x)\leq x^{2}} sur {\mathbb{R}}. Calculer {f'(0)}.

  3. Montrer que, sur {\mathbb{R}^{+*}}, {f} vérifie {y”-y=\dfrac{\pi}{2}-x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}g(t)\,\text{d}t}
  4. En déduire {f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.

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