Équation différentielle du 2nd ordre

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative.

On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.

Soit {y_{1} :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}} la solution vérifiant {\begin{cases}y_{1}(0)=1\\y_{1}'(0)=1\end{cases}}

Question 1
Démontrer que la fonction {y_{1}} est strictement
positive, strictement croissante et convexe sur {\mathbb{R}^{+}}.
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Question 2
Démontrer que la fonction {\dfrac{1}{y_{1}^{2}}} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
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Question 3
Montrer que la fonction {y_{2} :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto y_{1}(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty }\dfrac{dt}{y_{1}^{2}(t)}}est une solution de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) }.
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Question 4
Les fonctions {y_{1}\;\text{et}\;y_{2}} forment-elles un sytème
fondamental de solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) ?}
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Question 5
Étudier le sens de variation de {y_{2}}. En déduire que {y_{2}} possède une limite finie en {+\infty }.
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Question 6
Parmi les solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) } sur {\mathbb{R}^{+},} quelles sont celles qui sont bornées sur {\mathbb{R}^{+}?}
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Question 7
On supppose que {q} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {y_{2}'(x)\stackrel{+\infty }{\rightarrow }0}.
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