Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative.
On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Soit {y_{1} :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}} la solution vérifiant {\begin{cases}y_{1}(0)=1\\y_{1}'(0)=1\end{cases}}
Question 1
Démontrer que la fonction {y_{1}} est strictement
positive, strictement croissante et convexe sur {\mathbb{R}^{+}}.
Démontrer que la fonction {y_{1}} est strictement
positive, strictement croissante et convexe sur {\mathbb{R}^{+}}.
Question 2
Démontrer que la fonction {\dfrac{1}{y_{1}^{2}}} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Démontrer que la fonction {\dfrac{1}{y_{1}^{2}}} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Question 3
Montrer que la fonction {y_{2} :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto y_{1}(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty }\dfrac{dt}{y_{1}^{2}(t)}}est une solution de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) }.
Montrer que la fonction {y_{2} :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto y_{1}(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty }\dfrac{dt}{y_{1}^{2}(t)}}est une solution de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) }.
Question 4
Les fonctions {y_{1}\;\text{et}\;y_{2}} forment-elles un sytème
fondamental de solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) ?}
Les fonctions {y_{1}\;\text{et}\;y_{2}} forment-elles un sytème
fondamental de solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) ?}
Question 5
Étudier le sens de variation de {y_{2}}. En déduire que {y_{2}} possède une limite finie en {+\infty }.
Étudier le sens de variation de {y_{2}}. En déduire que {y_{2}} possède une limite finie en {+\infty }.
Question 6
Parmi les solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) } sur {\mathbb{R}^{+},} quelles sont celles qui sont bornées sur {\mathbb{R}^{+}?}
Parmi les solutions de {\left( \mathcal{E}_{q}\right) } sur {\mathbb{R}^{+},} quelles sont celles qui sont bornées sur {\mathbb{R}^{+}?}
Question 7
On supppose que {q} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {y_{2}'(x)\stackrel{+\infty }{\rightarrow }0}.
On supppose que {q} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {y_{2}'(x)\stackrel{+\infty }{\rightarrow }0}.