Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit {n\in\mathbb{N}^{*}}. On note {S_{n}} l’ensemble des permutations de {[[1,n]]}.

  1. Pour {\sigma\in S_{n}} on pose {\varphi_{\sigma}\colon S_{n}\rightarrow S_{n},\;s\mapsto s\sigma}.
    Montrer que {\varphi_{\sigma}} est une permutation de {S_{n}}.
  2. Soit {(e_{1},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
    Pour {s\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
    Montrer que {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}} est un projecteur (éléments caractéristiques?).

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