Endomorphismes tels que f2 = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{f^2=-\text{Id}_{E}}

Donner un exemple en dimension ${2}$ .
Montrer que ${f}$ n’a pas de valeur propre. En déduire que ${\dim(E)}$ est paire.
Pour tout ${x\ne 0}$ , soit ${F_x=\text{Vect}\{x,f(x)\}}$ .
Montrer que ${F_x}$ est un plan stable par ${f}$ .
On pose ${\dim (E)=2n}$ , avec ${n\ge1}$ .
Montrer qu’il existe une base ${(e_{1},f(e_{1}),\ldots,e_{n},f(e_{n}))}$ de ${E}$ .
Écrire la matrice de ${f}$ dans cette base.

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