Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie {n\geqslant 2}.
On note {\mathcal{F}(E)} l’ensemble des endomorphismes {u} de {E} vérifiant {E=\text{Im}u\oplus \text{Ker} u}.
On admet que si les sous-espaces {F,G} ont même dimension, ils ont un supplémentaire commun.
Soit {u\in \mathcal{L}(E)}, et {r=\text{rg}(u)}. On suppose {0\lt r\lt n}.
Le but de l’exercice est de montrer que {u} est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
| Question 1 Soit {\mathcal{B}=\left( e_{i}\right) _{1\le i\le n}} une base de {E} telle que {\left( e_{i}\right) _{r+1\le i\le n}} est une base de {\text{Ker}\,u}. Soit {v} l’endomorphisme de {E} tel que : {\begin{cases}\forall\,i \in \left[1,r\right],\;v(e_{i})=e_{i+1} \\\forall\,i \in \left[r+1,n\right],\;v(e_{i})=0\end{cases}}Vérifier que {v} est nilpotent. |
| Question 2 Justifier l’existence d’un sous-espace {S} de {E} vérifiant : {E=\text{Im}u\oplus S=\text{Im}v\oplus S}. |
| Question 3 En déduire un endomorphisme {w} de {E} tel que : {u=w\circ v,\;\text{Ker}\,w=S\;\text{et}\;\text{rg}\,w=r}Montrer que {w\in \mathcal{F}(E)}. |
| Question 4 Justifier l’existence d’une base {\mathcal{B}'} de {E} telle que :{M_{\mathcal{B}'}(w)=\begin{pmatrix}G & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\;\text{où}\;G\in \mathrm{GL}_{r}(\mathbb{C})} |
| Question 5 Montrer que {M_{\mathcal{B}'}(w)} est le produit de deux matrices nilpotentes. Conclure. |