Décomposition en nilpotents

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie {n\geqslant 2}.

On note {\mathcal{F}(E)} l’ensemble des endomorphismes {u} de {E} vérifiant {E=\text{Im}u\oplus \text{Ker} u}.

On admet que si les sous-espaces {F,G} ont même dimension, ils ont un supplémentaire commun.

Soit {u\in \mathcal{L}(E)}, et {r=\text{rg}(u)}. On suppose {0\lt r\lt n}.

Le but de l’exercice est de montrer que {u} est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.

Question 1
Soit {\mathcal{B}=\left( e_{i}\right) _{1\le i\le n}} une base de {E} telle que {\left( e_{i}\right) _{r+1\le i\le n}} est une base de {\text{Ker}\,u}.

Soit {v} l’endomorphisme de {E} tel que : {\begin{cases}\forall\,i \in \left[1,r\right],\;v(e_{i})=e_{i+1} \\\forall\,i \in \left[r+1,n\right],\;v(e_{i})=0\end{cases}}Vérifier que {v} est nilpotent.
Comparer {\text{Ker}\,u} et {\text{Ker}\,v}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2
Justifier l’existence d’un sous-espace {S} de {E} vérifiant : {E=\text{Im}u\oplus S=\text{Im}v\oplus S}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3
En déduire un endomorphisme {w} de {E} tel que : {u=w\circ v,\;\text{Ker}\,w=S\;\text{et}\;\text{rg}\,w=r}Montrer que {w\in \mathcal{F}(E)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 4
Justifier l’existence d’une base {\mathcal{B}'} de {E} telle que :{M_{\mathcal{B}'}(w)=\begin{pmatrix}G & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\;\text{où}\;G\in \mathrm{GL}_{r}(\mathbb{C})}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 5
Montrer que {M_{\mathcal{B}'}(w)} est le produit de deux matrices nilpotentes. Conclure.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).