Image, noyau, rang (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {E,F} deux espaces vectoriels de dimensions respectives {n,p}.
Soit {f\in\mathcal{L}(E,F)}, de rang {r}. Soit {{\mathcal G}=\{g\in{\mathcal L}(F,E),f g f=0\}}.
Montrer que {{\mathcal G}} est un sous-espace vectoriel de {{\mathcal L}(F,E)} et en donner la dimension.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
On suppose que {AB=0} est nulle et que {A+B} est inversible.
Montrer que {\text{rg}\,A+\text{rg}\,B=n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.

  1. Soit {X} une matrice-colonne à coefficients réels.
    Montrer que {{X}^{\top}X=0\Leftrightarrow X=0}.
  2. Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{rg}(A)=\text{rg}\bigl({A}^{\top} A\bigr)=\text{rg}\bigl(A{A}^{\top}\bigr)}.
  3. Montrer que cela cesse d’être vrai dans {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Soit {n\in\mathbb{N}^*}. Pour {0\le r\le n}, soit {J_n\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont le coefficient d’indice {(i,j)} est {1} si {i=j\le r} et {0} sinon. En particulier, {J_n(0)=0} et {J_n(n)=\text{I}_n}. Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  1. Montrer que {\text{rg} A=r\Leftrightarrow\exists P,Q} inversibles telles que {Q^{-1}AP=J_r}.
  2. En déduire que {A} et {{A}^{\top}} ont le même rang.
  3. Montrer que {A} est la somme de deux matrices inversibles.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 5.
Soit {E} le sous-espace de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} formé des matrices antisymétriques.
Soit {A} une matrice fixée dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  1. Rappeler quelle est la dimension de {E} et en donner une base simple.
  2. On définit {f} sur {E} par {f(M)={A}^{\top}\,M+MA}.
    Montrer que {f\in\mathcal{L}(E)}. Calculer {\text{tr} f} en fonction de {\text{tr} A}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).