Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour {1\!\le\! i,j,k\!\le\! n} soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
On note {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.

  1. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
  2. Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}.
    Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

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