Opérateur Δ sur les polynômes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {P \in \mathbb{R}[X]} de degré {d \in \mathbb{N}}.

On définit l’opérateur {\Delta} sur {\mathbb{R}[X]} :{\Delta\colon\mathbb{R}[X]\to\mathbb{R}[X],\;A(X)\mapsto A(X)-A(X-1)}

Question 1
Donner le rayon de convergence de la série entière {x\mapsto f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} P(n) x^n}
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Question 2
Montrer que : {(1-x)f(x)=P(0)+\displaystyle\sum_{n \geq 1} \Delta(P)(n) x^{n}}Plus généralement, pour {k \in \mathbb{N},}, montrer que : {\begin{array}{rl}(1-x)^{k+1} f(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^k \Delta^i(P)(i) x^i(1-x)^{k-i}\\[15pt]&\quad+ \displaystyle\sum_{n \geq k+1} \Delta^{k+1}(P)(n) x^{n}\end{array}}
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Question 3
En déduire : {\exists\,!\, Q\in\mathbb{R}[X],\;f(x)=\dfrac{Q(x)}{(1-x)^{d+1}}}.
Montrer que {\deg Q \leq d}.
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Question 4.a
Soit {N \in \mathbb{N}}. Montrer que, pour tout {P \in \mathbb{R}_N[X]}: {\exists\,!\, Q \in \mathbb{R}_N[X],\;\displaystyle\sum_{n \geq 0} P(n) x^n = \dfrac{Q(x)}{(1-x)^{N+1}}}
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Question 4.b
{\Phi\colon P\mapsto Q} est-elle un automorphisme de {\mathbb{R}_N[X]}?
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Question 5
Donner un équivalent de {f(x)} en {1}.
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