Formes linéaires coordonnées

Exercice 1.
Soient

{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3}

les formes linéaires définies sur

{\mathbb{K}^3}

par, pour tout

{u=(x,y,z)\in\mathbb{K}^3}

{\begin{cases}\varphi_1(u)=x+2y+3z\\\varphi_2(u)=2x+5y+4z\\\varphi_3(u)=x+3y+2z\end{cases}}

Montrer que ${(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)}$ forment une base de ${\mathcal{L}(\mathbb{K}^3,\mathbb{K})}$ .
Trouver la base ${(u_1,u_2,u_3)}$ de ${\mathbb{K}^{3}}$ pour laquelle ${\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3}$ sont les applications coordonnées.

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Exercice 2.
Sur

{E=\mathbb{R}_3[X]}

on définit les applications

{f_j:P\rightarrow\displaystyle\int_0^1t^jP(t)\,\text{d}t}

Montrer que ${(\varepsilon^{*})=f_0,f_1,f_2,f_3}$ est une base de ${\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X],\mathbb{R})}$ .
De quelle base ${(\varepsilon)}$ de ${E}$ les applications ${f_0,f_1,f_2,f_3}$ sont-elles les applications coordonnées?

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Exercice 3.
Soient

{(e),(\varepsilon)}

deux bases de

{E}

(

{\dim E=n}

), et

{(e^{*}),(\varepsilon^{*})}

les bases respectives de leurs formes linéaires coordonnées. Soit

{P}

la matrice de passage de

{(e)}

{(\varepsilon)}

{P^{*}}

celle de

{(e^{*})}

{(\varepsilon^{*})}

. Exprimer

{P}

en fonction de

{P^{*}}

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