Équation au crochet de Lie

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n\ge2} un entier. On note : {\forall\,(A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) ^{2},\;[A,B]=AB-BA}Le but est de trouver les {A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) } telles que :
{\forall \ T\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) ,\ \left[\, A,\left[\, A,\left[\,A,T\,\right] \,\right]\, \right] =\left[ A,T\,\right]\quad(1)}

Question 1
Pour tout {\left( A,T\right)\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) ^{2}}, calculer et simplifier :{\left[ A,\left[ A,\left[ A,T\right] \right] \right] -\left[ A,T\right]}Traiter alors le cas {A=\lambda I_{n}+P}{P} est une matrice de projecteur.
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Question 2
Réciproquement, soit {A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) } vérifiant (1).
On suppose que {A\notin \text{Vect}\left( I_{n}\right) }.
Montrer qu’il existe {v\in\mathbb{C}^{n}} tel que {\left( v,Av\right) } soit libre et une forme linéaire {\varphi :\mathbb{C}^{n}\rightarrow \mathbb{C}} vérifiant : {\varphi(v)=0} et {\varphi \left( Av\right) =1}.
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Question 3
En considérant la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme {u :x\mapsto \varphi \left( x\right) z}, démontrer qu’il existe des scalaires {\lambda ,\mu } tels que pour tout vecteur {z\in \mathbb{C}^{n},\ A^{2}z+\lambda Az+\mu z=0}.
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Question 4
Conclure qu’il existe un complexe {\alpha } tel que {A-\alpha I_{n}} soit la matrice d’un projecteur.
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