Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}

  1. On se donne {-1\leq x_{0}\lt …\lt x_{n}\leq 1}.
    Montrer que, pour tout {i\in \{0,\ldots,n\}} : {\exists\,!P_{i}\in E,\forall j\in \{0,\ldots,n\},\;P_{i}(x_{j})=\delta _{i,j}}
  2. Montrer que {(P_{0},\ldots,\ P_{n})} est une base de {E}.
  3. Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

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