Endomorphisme et crochet de Lie

(Oral X-Cachan Psi)

Soit {n} un entier supérieur ou égal à {2}.
Dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
Soit {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} vérifiant : {\forall\, A,B \in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}),\; \varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}.
On note {{\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})} le sous-espace de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} des matrices de trace nulle.

  1. Montrer que {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}) = \text{Vect}(I_{n})\oplus {\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})}
  2. Montrer qu’il existe {\lambda \in\mathbb{R}} tel que {\forall\, X\in\text{Vect}(I_{n}),\;\varphi(X) = \lambda X}.
  3. Montrer que si {A} est diagonale, alors {\varphi(A)} l’est aussi.
  4. Soit {X\in{\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})} un vecteur propre de {\varphi} pour la valeur propre {\mu}.
    Soit {B \in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {[X, B]\ne 0}.
    Montrer que {[X, B]} est vecteur propre de {\varphi}.

  5. On suppose que {\varphi} est connu sur l’ensemble des matrices diagonales.
    Soit {D_{\mu}=\text{diag}(\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n})}, avec {\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n}} distincts dans \mathbb{R}.
    Soit {A} quelconque dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
    On note {D_{A}=\text{diag}(a_{1,1},a_{2,2},\ldots,a_{n,n})}.
    Montrer qu’il existe {\tilde{A}} unique à diagonale nulle et {A = D_{A} + [\tilde{A},D_{\mu}]}.
    En déduire {\varphi(A)} en fonction de {\varphi(D_{A})}, {\varphi(D_{\mu})} et {\tilde{A}}.

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