Calcul matriciel
Exercices corrigés de calcul matriciel pour Mpsi Pcsi, et pour Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{1\le i,j,k\le n}

, soit

{a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Soit

{A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}

. Calculer

{M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}

.
Soit

{p\neq \text{Id}}

un projecteur de

{\mathbb{R}^{n}}

. Montrer que

{p}

est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

➡️

Sous-espace de matrices de rang borné

(Oral Centrale)
Soit

{\mathcal{V}}

un sous-espace de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

contenant

{\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}

.
On suppose :

{\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}

.
Montrer que

{\dim \mathcal{V}\leq nr}

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

➡️

Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

➡️

Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

➡️

Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

➡️

Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

➡️

Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

➡️

Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

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Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Pour

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, calcul de

{A^n,\,n\in\mathbb{Z}}

{A^{1/n}}

, de

{\exp(A)}

➡️

Résolution d’un système tridiagonal

(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal

➡️

Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

➡️

Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.

➡️

Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice

G_n

des pgcd(i,j). Théorème de Smith. Décomposition de

G_n

➡️