Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.

  1. On suppose que {\forall\, i\in \lbrack \lbrack 1,n]]}, {|a_{i,i}|>L_{i}}.
    Montrer que {A} est inversible.
  2. On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
    Montrer là encore que {A} est inversible.

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