Conditions suffisantes d'inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

On suppose que ${\forall\, i\in \lbrack \lbrack 1,n]]}$ , ${|a_{i,i}|>L_{i}}$ .
Montrer que ${A}$ est inversible.
On suppose ${|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}$ pour tous ${i\neq j}$ .
Montrer là encore que ${A}$ est inversible.

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