Inversion d’une matrice de Hilbert
Dans cet exercice, on inverse une matrice de Hilbert par la méthode du pivot de Gauss. On reprend ensuite les calculs à l’aide de Python.
Calcul matriciel
QCM (matrices)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Rang et positivité d’une matrice symétrique
(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle {M} obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de {M} pour qu’elle soit positive ou définie-positive.
Décomposition en somme de carrés
(Oral Centrale) Soit {G} l’ensemble des éléments de {\mathbb{K}} qui peuvent s’écrire comme une somme de {2^n} éléments de {\mathbb{K}}. Par une récurrence matricielle, on montre que {G} est un sous-groupe de {\mathbb{K}^*}.
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Un groupe de matrices non inversibles
(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble {G} de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que {G} est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de {G} ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.
Algorithme de Babylone matriciel
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
À la manière du déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Conditions suffisantes d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Produit de Kronecker
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Puissances de matrices stochastiques
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Trace et formes linéaires
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Vect des matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Inversibilité de matrices carrées
Exercices sur le thème « inversibilité de matrices carrées ».
Trace d’une matrice carrée
Exercices sur le thème « trace d’une matrice carrée ».
Puissances de matrices carrées
Exercices sur le thème « Puissances de matrices carrées ».
Inverses de matrices carrées
Exercices sur le thème « Inversion de matrices carrées »
Familles de matrices
Exercices sur le thème « Familles de matrices ».
Petit calcul matriciel
Exercices de « petit calcul matriciel ».
Une famille de matrices 3×3
(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
Un sous-espace de matrices
(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
Si AB=BA et B nilpotente, alors…
(Oral Centrale)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Puissances d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Matrices A,B telles que AB=A+B
(Oral Mines Telecom)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB=A+B}. Montrer que {AB=BA}.
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB=A+B}. Montrer que {AB=BA}.
Le commutant de GLn(ℂ)
(Oral Centrale)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Racine de matrice nilpotente
(Oral Ensam)
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Matrices bistochastiques, épisode 9
Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.
Matrices bistochastiques, épisode 8
Matrices bistochastiques, épisode 7
Matrices bistochastiques, épisode 6
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Matrices bistochastiques, épisode 5
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Matrices bistochastiques, épisode 4
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Matrices bistochastiques, épisode 3
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
Matrices bistochastiques, épisode 2
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
Matrices bistochastiques, épisode 1
Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.
Inversion d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.