Inversion d’une matrice de Hilbert
Dans cet exercice, on inverse une matrice de Hilbert par la méthode du pivot de Gauss. On reprend ensuite les calculs à l’aide de Python.
Calcul matriciel
QCM (matrices)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Rang et positivité d’une matrice symétrique
(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle {M} obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de {M} pour qu’elle soit positive ou définie-positive.
Décomposition en somme de carrés
(Oral Centrale) Soit {G} l’ensemble des éléments de {\mathbb{K}} qui peuvent s’écrire comme une somme de {2^n} éléments de {\mathbb{K}}. Par une récurrence matricielle, on montre que {G} est un sous-groupe de {\mathbb{K}^*}.
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Un groupe de matrices non inversibles
(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble {G} de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que {G} est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de {G} ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.
Algorithme de Babylone matriciel
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
À la manière du déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Conditions suffisantes d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Produit de Kronecker
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Puissances de matrices stochastiques
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Trace et formes linéaires
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Vect des matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?