Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)

Soit ${\varphi}$ une forme linéaire sur ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ .
Montrer qu’il existe ${A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ telle que : ${\forall M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}$
Déterminer les formes linéaires sur ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ telles que : ${\forall\,(M,N),\;\varphi (MN)=\varphi (NM)}$

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