Rang et positivité d’une matrice symétrique

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n} dans {\mathbb{N}^*}, {a=(a_1,\cdots,a_n)} dans {\mathbb{R}^n}, et {M(a)=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_2 & a_2 & a_3 &\cdots & a_n \\ a_3 & a_3 & a_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ a_n & a_n & a_n & \cdots & a_n \end{pmatrix}}On dit qu’une matrice symétrique réelle d’ordre {n} est

  • positive si : {\forall\,X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\;{}^{t}XAX\ge0}
  • définie-positive si : {\forall\,X\ne0\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\;{}^{t}XAX>0}

Dans les questions 1a et 1b, on étudie le rang de {M(a)}.

Question 1.a
On suppose {a_i \neq a_{i+1}} pour tout {i\in\llbracket1,\ldots,n-1\rrbracket}.
Montrer que {M(a)} est inversible.
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Question 1.b
Dans le cas général, donner une méthode donnant {\text{rg}(M(a)} en fonction de {(a_1,\cdots,a_n)}.
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Dans les questions (2a) à (2d), on étudie le caractère positif de la matrice symétrique {M(a)}.

Question 2.a
Montrer que si {M(a)} est positive alors {a_i \geq 0} pour tout {i} de {\{1,\cdots,n\}}.
Montrer que la matrice {\begin{pmatrix} a_i & a_{i+1} \\ a_{i+1} & a_{i+1} \end{pmatrix}} est positive pour tout {i} de {\{1,\cdots,n-1\}}
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Question 2.b
En déduire que si {M(a)} est positive alors :{a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0}
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Question 2.c
Établir la réciproque par récurrence, avec {J\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de coefficients tous égaux à {1}.
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Question 2.d
À quelles conditions la matrice {M(a)} est-elle symétrique définie positive?
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