Inversibilité de matrices carrées
Exercices sur le thème « inversibilité de matrices carrées ».
Calcul matriciel
Trace d’une matrice carrée
Exercices sur le thème « trace d’une matrice carrée ».
Puissances de matrices carrées
Exercices sur le thème « Puissances de matrices carrées ».
Inverses de matrices carrées
Exercices sur le thème « Inversion de matrices carrées »
Familles de matrices
Exercices sur le thème « Familles de matrices ».
Petit calcul matriciel
Exercices de « petit calcul matriciel ».
Une famille de matrices 3×3
(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
Un sous-espace de matrices
(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
Si AB=BA et B nilpotente, alors…
(Oral Centrale)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Puissances d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Matrices A,B telles que AB=A+B
(Oral Mines Telecom)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB=A+B}. Montrer que {AB=BA}.
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB=A+B}. Montrer que {AB=BA}.
Le commutant de GLn(ℂ)
(Oral Centrale)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Racine de matrice nilpotente
(Oral Ensam)
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Matrices bistochastiques, épisode 9
Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.
Matrices bistochastiques, épisode 8
Matrices bistochastiques, épisode 7
Matrices bistochastiques, épisode 6
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Matrices bistochastiques, épisode 5
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Matrices bistochastiques, épisode 4
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Matrices bistochastiques, épisode 3
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.