Inverses de matrices carrées

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}. Calculer {A^2,A^3} et {A^{-1}}.
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Exercice 2.
Calculer l’inverse de la matrice {A=\begin{pmatrix}1&-a&0&0\cr0&1&-a&0\cr0&0&1&-a\cr0&0&0&1\end{pmatrix}}.
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Exercice 3.
On pose {\omega=\exp{\dfrac{2i\pi}n}}, où {n} est un entier strictement positif.

Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_ n(\mathbb{C})}, avec {a_{ij}=\omega^{(i-1)(j-1)}} et {b_{ij}=\omega^{-(i-1)(j-1)}}.

Calculer les produits {A^2}, {B^2}, {AB} et {BA}. Calculer {A^{-1}}.

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Exercice 4.
Quand {A=\begin{pmatrix}a& b &\ldots& b \\ b&\ddots&\ddots&:\\ :&\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&b&a\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} est inversible, calculer {A^{-1}}.
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Exercice 5.
Calculer l’inverse de {A=\begin{pmatrix}1&2& \ddots &n-1&n\phantom{\Bigl(}\\0&1&2&\ddots&n-1\phantom{\Bigl(}\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\phantom{\Bigl(}\\\vdots&0&\ddots&1&2\phantom{\Bigl(}\\0&\ldots&\ldots&0&1\end{pmatrix}}
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.