Familles de matrices

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {a,b} deux réels, et {E} l’ensemble des {M(\lambda,\mu)=\begin{pmatrix}\lambda&\mu\\-\mu b&\lambda+\mu a\end{pmatrix}}, ({\lambda,\mu\in\mathbb{R}}).
Montrer que {E} est une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}.
À quelle condition sur {a,b} est-ce un corps?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Exercice 2.
Pour tous réels {a,b,c}, on pose : {M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\cr3c&a-3c&b\cr3b&-3b+3c&a-3c\end{pmatrix}}Montrer que l’ensemble {E} de toutes ces matrices est une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. En donner la dimension et une base.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Exercice 3.
Pour tout réel {t}, on pose :{A(t)=\begin{pmatrix}1+t^2/2&-t^2/2&t\\t^2/2&1-t^2/2&t\\t&-t&1\end{pmatrix}}

  1. Calculer {A(s)A(t)}, puis {(A(t)-I)^3}.
  2. Trouver {(\alpha_n),(\beta_n),(\gamma_n)} tels que : {\forall\, n\!\in\!\mathbb{N},\,A(t)^n\!=\!\alpha_nA(t)^2\!+\!\beta_nA(t)\!+\!\gamma_nI}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.