Familles de matrices

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {a,b} deux réels, et {E} l’ensemble des {M(\lambda,\mu)=\begin{pmatrix}\lambda&\mu\\-\mu b&\lambda+\mu a\end{pmatrix}}, ({\lambda,\mu\in\mathbb{R}}).
Montrer que {E} est une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}.
À quelle condition sur {a,b} est-ce un corps?
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Exercice 2.
Pour tous réels {a,b,c}, on pose : {M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\cr3c&a-3c&b\cr3b&-3b+3c&a-3c\end{pmatrix}}Montrer que l’ensemble {E} de toutes ces matrices est une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. En donner la dimension et une base.
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Exercice 3.
Pour tout réel {t}, on pose :{A(t)=\begin{pmatrix}1+t^2/2&-t^2/2&t\\t^2/2&1-t^2/2&t\\t&-t&1\end{pmatrix}}

  1. Calculer {A(s)A(t)}, puis {(A(t)-I)^3}.
  2. Trouver {(\alpha_n),(\beta_n),(\gamma_n)} tels que : {\forall\, n\!\in\!\mathbb{N},\,A(t)^n\!=\!\alpha_nA(t)^2\!+\!\beta_nA(t)\!+\!\gamma_nI}

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.