Trace d’une matrice carrée

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que l’égalité {AB-BA=I} est impossible dans {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Soient {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.
On suppose que pour tout {M} de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}, on a {\text{tr}(AM)=\text{tr}(BM)}.
Montrer que les matrices {A} et {B} sont égales.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Soit {f} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que : {\begin{array}{l}\exists\,!\,A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\;\forall\,X\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\\[9pts]\quad f(X)=\text{tr}(AX)\quad(\star)\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.