Puissances de matrices carrées

Exercices corrigés


Exercice 1.
Calculer {A^{100}}, avec {A=\begin{pmatrix}5&-4\\4&-3\end{pmatrix}}.
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Exercice 2.
Calculer {A^n}, avec {A=\begin{pmatrix}0&1&-\sin\,\theta\\-1&0&\cos\,\theta\\-\sin\,\theta&\cos\,\theta&0\end{pmatrix}}.
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Exercice 3.
Soit {M=\begin{pmatrix}a^2-1&ab&ac\\ ab&b^2-1&bc\\ ac&bc&c^2-1\end{pmatrix}}{a^2+b^2+c^2=1}. Calculer {M^n} ({n\ge1}).
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Exercice 4.
Soit {A=\begin{pmatrix}\,\text{ch} x&\,\text{sh} x\\ \,\text{sh} x&\,\text{ch} x\end{pmatrix}}. Calculer {A^n}.
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Exercice 5.
Soit {M=\begin{pmatrix}2&-2&1\\2&-3&2\\-1&2&0\end{pmatrix}}. Calculer {(M-I)(M+3I)} puis {M^n} pour n\in\mathbb{Z}.
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Exercice 6.
Soit {A} une matrice carrée. On suppose qu’il existe deux matrices {U,V} telles que {A^n=\lambda^n(U+nV)} pour {n=1,2,3}.
Montrer que l’égalité {A^n=\lambda^n(U+nV)} est vraie pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.
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Exercice 7.
Soit {A} une matrice carrée d’ordre {n}, strictement triangulaire supérieure.
Montrer que {A^{n}=0}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.