Inversibilité de matrices carrées

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {H} un hyperplan de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {H} contient au moins une matrice inversible.
Indications : interpréter {H} comme le noyau d’une forme linéaire non nulle {\varphi}, et utiliser les matrices {E_{ij}} de la base canonique de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

Exercice 2.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, de terme général {a_{ij}}.
On dit que {A} est à diagonale strictement dominante si : {\forall j\in[[1,n]],\;|a_{jj}|>\displaystyle\sum_{i\ne j}|a_{ij}|}Montrer que dans ce cas la matrice {A} est inversible (théorème de Hadamard).

Exercice 3.
Soit {n} un entier strictement positif. Soit {A} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  1. Montrer que {M} commute avec toutes les matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} si et seulement si {M} est de la forme {\lambda\text{I}_n}, où {\lambda} est un scalaire quelconque.
  2. Montrer que {M} commute avec toutes les matrices inversibles de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} si et seulement si {M} est de la forme {\lambda\text{I}_n}, où {\lambda} est un scalaire quelconque.

Exercice 4.
Soit {{\mathcal D}} l’ensemble des {A=(a_{ij})} de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{R})} qui vérifient : {\forall(i,j),\;a_{ij}\ge 0,\quad\forall i,\;\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}=1}

  1. Montrer que {{\mathcal D}} est stable pour le produit des matrices.
  2. Déterminer les matrices inversible {A} de {{\mathcal D}}, telles que {A^{-1} \in {\mathcal D}}.

Exercice 5.

Soit {A,B,C} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {M\!=\!\begin{pmatrix}A&B\\ 0_{n}&C\end{pmatrix}}
On suppose que {A} et {C} sont inversibles.
Exprimer {M^{-1}} sous forme de blocs.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.