Matrices bistochastiques, épisode 9

On se donne un entier {n\ge3}.
Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2}\\b_{i,j}=0\text{\ dans tous les autres cas}\end{cases}}La matrice {B_n} est visiblement bistochastique.

  1. Écrire une fonction Python, d’argument {n}, renvoyant {B_{n}} (au sens de Numpy).
  2. Justifier que {B_{n}} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, à valeurs propres toutes distinctes.
  3. Diagonaliser effectivement la matrice {B_{n}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
    Indication: chercher les valeurs propres sous la forme \lambda=\cos(2\theta).
  4. Déterminer la limite de {B_{n}^{m}} quand m tend vers {+\infty}.
  5. Illustrer ce qui précède avec Python.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.