Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {n\ge 2} un entier. On note {E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Soient {A,B\in E} telles que : {A\neq 0\;\text{et}:\forall \ X\in E,\;\ AXB=BXA}L’objectif est de montrer que {B} est liée à {A}.
| Question 1 Soit {\mathcal{J}} un sous-espace de {E} tel que :{\forall\,X\in E,\;\forall\,U\in \mathcal{J},\;\begin{cases}UX\in \mathcal{J}\\[3pt]XU\in \mathcal{J}\end{cases}}Montrer que {\mathcal{J}=\{0\}} ou {\mathcal{J}=E}. |
| Question 2 Soient {U,V\!\in\! E} telles que : {\forall\,X\!\in\! E,\;UXV\!=\!0}. Montrer que : {U=0} ou {V=0}. |
| Question 3.a On pose {\mathcal{I}=\text{Vect}\{XAY, (X,Y)\in E ^{2}\}}. Montrer que {\mathcal{I}=E }. |
| Question 3.b Soient {X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p},Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p}} dans {E}. Montrer que {\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}AY_{i}=0\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}BY_{i}=0}. |
| Question 3.c En déduire qu’il existe {\Phi :E\rightarrow E } linéaire telle que, pour tout {p\ge1}, et pour tous {X_i,Y_i} dans {E}: {\Phi \biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}AY_{i}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}BY_{i}}Vérifier également que : {\forall\,(X,Y,Z)\in E^3,\;\Phi (XZY)=X\Phi \left(Z\right) Y} |
| Question 3.d En déduire qu’il existe {\lambda \in \mathbb{K}} tel que {\Phi =\lambda \text{Id}_E}. |
| Question 3.e Qu’en déduit-on en ce qui concerne {B?} |