Identité matricielle AXB = BXA

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n\ge 2} un entier. On note {E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.

Soient {A,B\in E} telles que : {A\neq 0\;\text{et}:\forall \ X\in E,\;\ AXB=BXA}L’objectif est de montrer que {B} est liée à {A}.

Question 1
Soit {\mathcal{J}} un sous-espace de {E} tel que :{\forall\,X\in E,\;\forall\,U\in \mathcal{J},\;\begin{cases}UX\in \mathcal{J}\\[3pt]XU\in \mathcal{J}\end{cases}}Montrer que {\mathcal{J}=\{0\}} ou {\mathcal{J}=E}.
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Question 2
Soient {U,V\!\in\! E} telles que : {\forall\,X\!\in\! E,\;UXV\!=\!0}.
Montrer que : {U=0} ou {V=0}.
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Question 3.a
On pose {\mathcal{I}=\text{Vect}\{XAY, (X,Y)\in E ^{2}\}}.
Montrer que {\mathcal{I}=E }.
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Question 3.b
Soient {X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p},Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p}} dans {E}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}AY_{i}=0\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}BY_{i}=0}.
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Question 3.c
En déduire qu’il existe {\Phi :E\rightarrow E } linéaire telle que, pour tout {p\ge1}, et pour tous {X_i,Y_i} dans {E}:
{\Phi \biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}AY_{i}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{p}X_{i}BY_{i}}Vérifier également que : {\forall\,(X,Y,Z)\in E^3,\;\Phi (XZY)=X\Phi \left(Z\right) Y}
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Question 3.d
En déduire qu’il existe {\lambda \in \mathbb{K}} tel que {\Phi =\lambda \text{Id}_E}.
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Question 3.e
Qu’en déduit-on en ce qui concerne {B?}
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