On note {A=(a_{ij})} une matrice de {\mathcal M_n(\mathbb K)}, et {B=(b_1,b_2,\ldots,b_n)} un élément de {\mathbb K^n}. On identifiera les éléments de {\mathbb K^n} et les matrices colonnes correspondantes.
Pour tout {Y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb K^n}, on note{\|Y\|=\max\{|y_j|\mid j=1,\ldots,n\}}On considère le système {(1):AX=B}, d’inconnue {X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb K^n}.
On suppose que, pour tout {i\in\{1,\ldots,n\}},{|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|}On exprime cette propriété en disant que {A} est à diagonale strictement dominante.
1. Montrer que
{A} est inversible.
Indication : raisonner par l’absurde et considérer un vecteur {X\in\mathbb K^n}, non nul, tel que {AX=0} ; utiliser la coordonnée de {X} qui est de module maximum.
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2. On note
{\widetilde X=(\widetilde x_1,\ldots,\widetilde x_n)} l’unique solution du système
{(1)}.
En divisant la {i}-ième équation de {(1)} par {a_{ii}} et en la résolvant par rapport à {x_i}, on transforme {(1)} en un système équivalent {(2):X=A^*X+B^*}.
Préciser les coefficients {a_{ij}^*} de {A^*} et {b_i^*} de {B^*}.
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3. Montrer qu’il existe {\lambda\in[0,1[} tel que, pour tout {i\in\{1,\ldots,n\}},{\sum_{j=1}^n|a_{ij}^*|\leq\lambda}
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4. Soit
{X^{(0)}\in\mathbb K^n}. On définit une suite de
{\mathbb K^n} en posant, pour tout
{k\in\mathbb N},
{X^{(k+1)}=A^*X^{(k)}+B^*}Pour tout entier
{k}, on pourra noter
{X^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})}.
Montrer que, pour tout {k\in\mathbb N^*},{\|\widetilde X-X^{(k)}\|\leq\lambda^k\|\widetilde X-X^{(0)}\|}En déduire que{\lim_{k\to+\infty}X^{(k)}=\widetilde X}
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5. Application numérique
5. (a). Résoudre le système {(1)} :{\left\{\begin{array}{rcl}400x+24y-8z&=&30,\\[4pt]9x+300y-15z&=&60,\\[4pt]4x-8y+400z&=&50\end{array}\right.}On en donnera la solution exacte et la solution approchée à {10^{-10}} près.
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5. (b). Vérifier les hypothèses des questions précédentes. Écrire la forme {X=A^*X+B^*} du système. Que vaut {\lambda} ?
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5. (c). On part de
{X^{(0)}=(0,0,0)}. Préciser
{X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)}} et
{X^{(4)}}.
En considérant uniquement {X^{(1)}}, montrer que {\|\widetilde X\|\leq5/23}. À partir de quel entier {k} est-on certain que {\|\widetilde X-X^{(k)}\|\leq10^{-16}} ?
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