Système à diagonale dominante

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {A=(a_{ij})} une matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})},.

Soit {B=(b_1,b_2,\ldots,b_n)\in\mathbb{K}^n} (on identifie les éléments de {\mathbb{K}^n} avec les matrices colonnes).

Pour tout {Y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)} de {\mathbb{K}^n}, on note :{\left\|Y\right\|=\max\{|y_j|,\,j=1,\ldots,n\}}On considère le système (1) : {AX=B} d’inconnue {X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)} dans {\mathbb{K}^n}.

On suppose que : {\forall\,i=1,\ldots,n,\;\left|a_{ii}\right|\gt\displaystyle\sum_{j\neq i}|a_{ij}|}(on dit que {A} est à diagonale strictement dominante).

Question 1
Montrer que {A} est inversible.
On note {\widetilde{X}=(\widetilde x_1,\ldots,\widetilde x_n)} l’unique solution de (1).
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Question 2
Pour {1\le i\le n}, on divise la {i}-ième équation de {(S)} par {a_{ii}} et on la résout par rapport à {x_i}.
On transforme ainsi {(S)} en un système équivalent {(S^{*})} : {X=A^*X+B^*}.
On choisit {X^{(0)}} quelconque dans {\mathbb{K}^n}, puis : {X^{(k+1)}=A^*X^{(k)}+B^*} pour tout {k} de {\mathbb{N}}.
Montrer que {(X^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}} converge vers {\widetilde{X}}.
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Question 3
Application numérique.
On considère ici le système linéaire {(S)} :
{\left\{\begin{array}{lll} 400x+24y-8z&=&30\cr 9x+300y-15z&=&60\cr 4x-8y+400z&=&50\cr\end{array} \right.}Les hypothèses de l’énoncé étant (à l’évidence) vérifiées, écrire les matrices {A^*} et {B^*} .
On part de {X^{(0)}=(0,0,0)}.
Préciser {\left\|X^{(1)}\right\|} et en déduire {\big\|\widetilde{X}\big\|\le\dfrac{5}{23}}.
À partir de quel entier {k} est-on certain que {\bigl\|\widetilde{X}-X^{(k)}\bigr\|\leq10^{-16}}?
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