Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.

  1. Montrer qu’il existe une matrice {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {P(M)=0_{n}}.
  2. Soit {a}, {b\in\mathbb{R}}, et {Q=X^{2}+aX+b}.
    Montrer qu’il existe une matrice {N\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {P(N)=0_{2}}.
  3. Existe-t-il toujours une matrice {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)=0_{n}} ?

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