Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)

  1. Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} nilpotentes, et {t\in \mathbb{C}}.

    • Si {A,B} commutent, {A+tB} est-elle nilpotente ?
    • Et si {A,B} ne commutent pas ?
  2. Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} quelconques.

    On suppose qu’il existe {t_{1},\ldots,t_{n+1}\in \mathbb{C}} distincts tels que les matrices {A+t_{i}B} soient nilpotentes.

    • Montrer qu’il existe des matrices {C_{n,k}} telles que {(A+tB)^{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n,k}t^{k}}
    • Les matrices {A} et {B} sont-elles nilpotentes ?

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