Sous-espace de matrices de rang borné

(Oral Centrale)

  1. Soit {M\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})}.
    Montrer que {\ker(M)=\ker(M^TM)}.
  2. Soit {M\!=\!\begin{pmatrix}A & B \\C & D\end{pmatrix}\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}{A\in \mathrm{GL}_{r}(\mathbb{R})}.
    Montrer que {\text{rg}(M)\geq r} et : {\mathrm{rg}(M)=r\Leftrightarrow\ D=CA^{-1}B}
  3. Soit {\mathcal{V}} un sev de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} contenant {\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}.
    On suppose : {\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}.
    Montrer que {\dim \mathcal{V}\leq nr}.

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