Équivalent dans une récurrence de pas 2

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On se donne les réels {a,b}, avec {0\lt a\lt 1} et {b>0}.

On considère une suite réelle {(x_{n})_{n\ge0}} définie par la donnée de {x_{0}>0}, {x_{1}>0} et par la relation :
{\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+2}=a\, x_{n+1}+\dfrac{(1-a)x_{n}}{1+b\, x_{n}}}La suite {(x_{n})_{n\ge0}} est bien définie, à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}.

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose {y_{n}=\dfrac{x_{n+1}}{1-a}+x_{n}}.

Question 1.a
Montrer que la suite {(y_{n})_{n\ge0}} est décroissante.
En déduire {\displaystyle\lim_{+\infty}x_{n}=0}.
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Question 1.b
Prouver que {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}=1}, en observant que {0\lt x_{n}\lt y_{n}} pour tout {n}.
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Question 1.c
Montrer que pour {1\le m\le n} on a l’inégalité :{\Big|x_{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(a-1)^{k}\,y_{n-k}\Big|\le(1-a)^{m}\,y_{n-m}}
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Question 2.a
De la suite {\Bigl(\dfrac{x_{n}}{y_{n}}\Bigr)_{n\ge0}} bornée, on extrait une sous-suite convergeant vers un réel {\ell}.
Utiliser (2c) pour montrer que {\ell=\dfrac{1-a}{2-a}}.
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Question 2.b
Montrer que si une suite numérique bornée admet une seule valeur d’adhérence, elle converge.
On peut donc écrire ici : {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{x_{n}}{y_{n}}=\dfrac{1-a}{2-a}}.
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Question 3.a
Montrer que {\displaystyle\lim_{+\infty}\biggl(\dfrac{1}{y_{n+1}}-\dfrac{1}{y_{n}}\biggr)=b\,\biggl(\dfrac{1-a}{2-a}\biggr)^{2}}.
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Question 3.b
En déduire {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{1}{ny_{n}}=b\,\biggl(\dfrac{1-a}{2-a}\biggr)^{2}} puis donner un équivalent de {x_{n}} quand {\to+\infty}.
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