Développement en produit infini

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On définit les fonctions {f(x)=\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}\quad\text{et}\quad g(x)=4x^{3}+6x^{2}-\dfrac{3}{2}}Pour tout {x>\dfrac{1}{2}}, on définit la suite {k\mapsto u_{k}(x)} par :{u_{1}(x)=x\;\text{et}\;\forall\, k\ge0,u_{k+1}(x)=g(u_{k}(x))}On pose également :{\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;P_{n}(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}L’objectif est de prouver : {\forall\, x>\dfrac{1}{2},\;f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_{n}(x)}et d’étudier la qualité de cette convergence.


Dans la question 1, on démontre la convergence de la suite de fonctions {P_{n}} vers {f}.

Question 1.a
Soit {x>\dfrac{1}{2}}, fixé. On considère l’équation : {(E_{x}) :\ f(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)f(y)\;\text{d'inconnue}\;y}Montrer que l’unique solution {y\gt\dfrac{1}{2}} est {y=g(x)}.
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Question 1.b
Soit {x>\dfrac{1}{2}}. Montrer que la suite {k\mapsto u_{k}(x)} croît strictement et qu’elle tend vers {+\infty}.
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Question 1.c
Prouver {\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_{n}(x)=f(x)}, ce qu’on traduit par :{\forall\, x>\dfrac{1}{2},\;\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}= \displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}
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Dans la question 2, on étudie la qualité de la convergence de la suite {P_{n}} vers la fonction {f}.

Question 2.a
Montrer que {f(x)-P_{n}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{f(x)}{u_{n+1}(x)}}.
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Question 2.b
En déduire que :{f(x)-P_{n+1}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{4f^{2}(x)}(f(x)-P_{n}(x))^{3}}Commentaire?
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