Une récurrence linéaire d’ordre 2

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} l’ensemble des suites réelles telles que : {\forall\, n\ge2,\;u_{n}=u_{n-1}+2\,\dfrac{u_{n-2}}{n}}On désigne par {u=(u_n)_{n\ge0}} un élément de {E}.

Question 1.a
Montrer que {E} est un plan vectoriel.
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Question 1.b
Dans (1b) seulement, on suppose {u_{0}>0} et {u_{1}>0}.
Montrer que la suite {u} est croissante.
Montrer que la suite {\Bigl(\dfrac{u_{n}}{n^{2}}\Bigr)_{n\ge2}} est décroissante.
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Question 1.c
Montrer qu’on a toujours : {u_{n}=\text{O}(n^{2})}.
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Question 2.a
Déterminer dans {E} l’unique suite {n\mapsto P(n)} polynomiale unitaire.
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Question 2.b
Avec ce {P}, on pose {\begin{cases}u_{n}=P(n)v_{n}\\w_{n}=v_{n+1}-v_{n}\end{cases}}
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {(n+3)(n+6)w_{n}=-2(n+4)w_{n-1}}
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Question 2.c
En déduire l’expression de {w_{n}}, puis {v_{n}}, puis {u_{n}}, en fonction de {u_{0}} et {u_{1}}.
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Question 2.d
Calculer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}} en fonction de {u_{0}} et de {u_{1}}.
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