Équivalence d’équivalents

(oral Centrale)

    Soit {(u_{n})} une suite réelle.
    On souhaite étudier la propriété (P) suivante : {u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}

    1. Montrer que l’implication directe est toujours vraie.
    2. On suppose que {(u_{n})} est monotone.
      Montrer que la propriété (P) est alors vraie.
    3. Si on retire cette hypothèse, le résultat est-il vrai ?

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